Центр масс через интеграл

Центр масс через интеграл

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей.Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной части S2 .

Рис.9

4.Метод группировки.Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L — длина дуги АВ, равная .

Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: Ai (xi,yi), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А1А2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А3 М3 (рис.11).

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А2А3, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А1М1. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А1М1 получим, учитывая, что координаты точки М1 — это среднее арифметическое координат вершин А2 и А3 :

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что yc = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R×dφ и высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R 2 ∙dφ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.

Подставляя в (2) α = π/2, получим: xc = (4R)/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображён­ного на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

0.

Площади:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков оди­наковой длины l.

Рис.16

Координаты центров тяжести участ­ков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g — ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где Li длина i-го стержня фермы, а xi, yi — координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Читайте также:  Пропал звук в игре ворлд оф танк

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L1 = 4 м, x1 = 0 м, y1= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L2 = 20 м, x2= 3 м, y2= 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

Вопросы для самопроверки

— Что называется центром параллельных сил?

— Как определяются координаты центра параллельных сил?

— Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

— Каким свойством обладает центр параллельных сил?

— По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

— Что называют статическим моментом площади?

— Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

— Где расположен центр тяжести дуги окружности?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

— Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

— По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

— Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

— Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

— Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9907 — | 7690 — или читать все.

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) — геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого [1] . В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.

Введение понятия центра тяжести удобно во многих приложениях механики и упрощает расчеты при использовании системы координат, связанной с центром масс. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то центр масс такой системы движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрения центров масс к решению геометрических задач, таких как теоремы Менелая и теоремы Чевы. [2]

Содержание

Определение [ править | править код ]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом [3] :

r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _m_<vec >_><sum limits _m_>>,>

где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор i -й точки системы, m i <displaystyle m_> — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r → c = 1 M ∫ V ρ ( r → ) r → d V , <displaystyle <vec >_=<1 over M>int limits _
ho (<vec
>)<vec >dV,> M = ∫ V ρ ( r → ) d V , <displaystyle M=int limits _
ho (<vec
>)dV,>

где M <displaystyle M> — суммарная масса системы, V <displaystyle V> — объём, ρ <displaystyle
ho > — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i <displaystyle M_> , то радиус-вектор центра масс такой системы R c <displaystyle R_> связан с радиус-векторами центров масс тел R c i <displaystyle R_> соотношением [4] :

R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _M_<vec >_><sum limits _M_>>.>

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами M 1 , M 2 , . . . M N . <displaystyle M_<1>,M_<2>. M_.> Радиус-вектор R → c n <displaystyle <vec >_>> n <displaystyle n> -ной системы:

R → c n = ∑ i n m i n r → i n ∑ i n m i n = ∑ i n m i n r → i n M n , n = 1 , 2 , . . . N . <displaystyle <vec >_>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>><sum limits _>m_>>>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>, n=1,2. N.> R → c = ∑ n ( ∑ i n m i n r → i n M n ⋅ M n ) ∑ n M n = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _left(<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>cdot M_
ight)><sum limits _
M_>>=<frac <sum limits _M_<vec
>_><sum limits _M_>>.>

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур [ править | править код ]

  • У отрезка — середина.
  • У многоугольников :
  • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
  • У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
  • У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении 4 3 π <displaystyle <frac <4><3pi >>>от центра круга.
  • Читайте также:  Nvidia quadro m2000 4gb

    Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

    x s = V y 2 π S <displaystyle x_=<frac ><2pi S>>> и y s = V x 2 π S <displaystyle y_=<frac ><2pi S>>> , где V x , V y <displaystyle V_,V_> — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S <displaystyle S> — площадь фигуры.

    Центры масс периметров однородных фигур [ править | править код ]

    • Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружностидополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружностидополнительного треугольника или с центром Шпикера.

    В механике [ править | править код ]

    Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

    Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

    Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

    Центр масс в релятивистской механике [ править | править код ]

    В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

    r → c = ∑ i r → i E i ∑ i E i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _<vec >_E_><sum limits _E_>>,>

    где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор i -й частицы системы, E i <displaystyle E_> — полная энергия i -й частицы.

    Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами [5] .

    Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

    Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

    v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . <displaystyle <vec >_=<frac <2>><sum limits _E_>>cdot sum limits _<vec

    >_.>

    Центр тяжести [ править | править код ]

    Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

    Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

    В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

    По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

    Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

    а) Пусть материальная точка массы отстоит от оси на расстоянии . Статическим моментом этой точки относительно оси называют число . Статическим моментом системы материальных точек , расположенных по одну сторону от оси , массы которых равны , а расстояния от оси равны называют число

    Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

    Поэтому если точки расположены на координатной плоскости,

    где — статический момент относительно оси и — относительно оси .

    б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой или по некоторой области . Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

    Читайте также:  Путь содержит слишком много уровней вложенности

    Начнем со случая кривой линии , задаваемой уравнением , причем предположим, что функция непрерывна и неотрицательна.

    Как обычно, разобьем отрезок на части точками и обозначим через и наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , Этому разбиению соответствует разбиение дуги на части (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент части относительно оси абсцисс заключен между и , где —длина этой части, (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,

    Так как на отрезке выполняется неравенство

    то в тех же границах, что и , заключен интеграл . Значит,

    Этот интеграл обозначают также следующим образом: или .

    Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут "бесконечно малый участок дуги" . Его статический момент равен . А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. . Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое "бесконечно малый участок дуги", или как еще говорят, "элемент дуги". При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

    Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая пересекает оси координат.

    в) Введем понятие центра тяжести.

    Определение. Центром тяжести тела называется такая точка , что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

    Обозначим через и расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

    Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

    Разрешая полученные равенства относительно и , найдем координаты центра тяжести плоской кривой

    Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

    Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

    Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

    Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью . Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

    В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: . Тогда

    Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности , расположенной в первом квадранте.

    Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому . Достаточно найти только .

    Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

    Отсюда находим, что и

    Поскольку длина четверти данной окружности равна , то

    Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

    Найдем статический момент прямоугольника со сторонами и относительно стороны . Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны и (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен , а статический момент всего прямоугольника равен

    Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , где — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , снизу осью абсцисс, а с боков прямыми .

    Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно и высота . Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен , а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен . В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции , эту формулу надо заменить такой:

    (части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

    Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

    Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно . Поэтому его статический момент равен , а статический момент всей трапеции выражается формулой

    Пример 3. Найти статический момент (относительно оси ) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

    Решение. Так как параметр одной арки циклоиды изменяется от до , то

    Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью и одной полуволной синусоиды .

    Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, . Ордината центра тяжести находится по формуле .

    Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке .

    Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды .

    Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому . Найдем по формуле .

    Площадь данной фигуры была вычислена раньше, она равна . Следовательно,

    Центр тяжести данной фигуры находится в точке .

    Ссылка на основную публикацию
    Хорошие характеристики для ноутбука
    На сегодняшний день портативной электроникой никого не удивишь - персональным носимым компьютером имеют право именоваться не только планшеты, плееры и...
    Фото для срисовки легкие но красивые карандашом
    Хотите научиться рисовать, но не знаете с чего начать? Подборка самых простых и легких картинок для срисовки помогут создать красивый...
    Фото для школьной беседы
    Если обычный диалог подразумевает участие только двух пользователей, то в беседу можно позвать нескольких друзей. Эта функция удобна, если нужно...
    Хорошие щетки стеклоочистителя отзывы
    Проверяем щетки стеклоочистителей. На испытаниях — 8 брендов. Сегодня можно определить к себе на службу дворника любой националь… простите, конструкции:...
    Adblock detector