Чему равен предел константы с

Чему равен предел константы с

Формулировки арифметических свойств конечных пределов

Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
; доказательство ⇓
существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
; доказательство ⇓
если b ≠ 0 , то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
. доказательство ⇓
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то постоянную можно выносить за знак предела:
; доказательство ⇓

Предел абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
если , то . Доказательство ⇓

Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций имеют конечные пределы в точке , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.

В частности, если существует конечный предел , то предел от функции , возведенной в натуральную степень n , равен пределу этой функции в степени n :
.
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n , но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.

Арифметических свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

Подобные свойства имеются и когда предел одной из функций равен бесконечности или нулю. Ниже мы приводим эти свойства.

Пусть существуют пределы функций
и .
И пусть, при , функция является бесконечно малой:
, а функция – бесконечно большой:
.
Тогда существует пределы суммы и разности:
;
существуют пределы произведений:
;
существуют пределы частного:
.
Доказательство

Символически эти свойства можно записать так:
;
;
,
где .

Эти свойства выполняются и в случае, если функции и не имеют пределов при . При этом должна существовать проколотая окрестность точки , на которой функция ограничена: , а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом: .

Доказательство арифметических свойств

Теорема о пределе суммы (или разности) двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
.

Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию , которая является суммой (или разностью) функций и . Используя свойство предела суммы и разности числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к и элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Читайте также:  Декстопмания обои на рабочий стол

Теорема о пределе произведения двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
.

Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . Используя свойство предела произведения числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о пределе частного двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
и .
Тогда, если b ≠ 0 , то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.

Поскольку существуют пределы и , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности, на которой определены функции и . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . По условию, . Воспользуемся теоремой об ограниченности снизу функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой .
Пусть есть проколотая окрестность точки , на которой определены функции и , и на которой . Используя свойство предела частного числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о вынесении постоянной за знак предела

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда постоянную можно выносить за знак предела:
.

Введем постоянную функцию , значения которой для всех x равны некоторому числу C . Согласно свойству о пределе постоянной функции,
.
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
.

Теорема о пределе абсолютного значения функции

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
Тогда существует предел абсолютного значения функции, равный абсолютному значению ее предела:
.

Читайте также:  Ошибка 18456 серьезность 14 состояние 38

Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определена последовательность . Поскольку , то эта последовательность имеет предел .

Используя свойство предела последовательности, состоящей из элементов, взятых по модулю, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
.

Пример

Найти предел функции
.

Воспользуемся тем, что .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
;
;
;

;
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-05-2018 Изменено: 02-02-2020

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ 136. Основные теоремы о пределах

Как было отмечено в предыдущем параграфе, не всякая переменная величина аn имеет предел при п —> . В этом параграфе мы будем рассматривать только такие переменные величины, пределы которых существуют. Для таких величин мы без доказательства укажем несколько важных теорем.

Теорема 1. Предел константы равен самой этой константе:

c = с.

Говоря о пределе константы с, мы имеем в виду предел числовой последовательности

все члены которой равны одному и тому же числу с.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(n) = k • аn.

Пример. В § 130 было доказано, что

Теорема 3. Предел суммы двух переменных величин равен сумме пределов этих величин:

(аn + bn) = аn + bn.

Пример. В § 130 и 132 было доказано, что

,

Данная теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа слагаемых. Например,

(аn + bn + cn + dn) = аn + bn+ cn + dn

Теорема 4. Предел произведения двух переменных величин равен произведению пределов этих величин:

(аnbn) = аn bn.

И эта теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа сомножителей. Например,

(аnbn cndn) = аn bn cn dn

Теорема 5. Предел дроби равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя, если только предел знаменателя отличен от нуля:

в данном случае нельзя, поскольку аn = 0.

Следует отметить, что, хотя доказательство приведенных теорем выходит за пределы школьной программы, некоторые ученики в состоянии доказать их. Поэтому тем учащимся, которые проявляют к математике особый интерес, мы предлагаем попытаться доказать эти теоремы. А теорему 1 должны доказать все.

Замечание. Необходимо напомнить соглашение, которое мы приняли в начале данного параграфа. Мы условились считать, что все рассматриваемые нами переменные величины имеют пределы. Если же это не так, то приведенные выше теоремы теряют смысл. Например, нельзя писать (см. теорему 2)

Читайте также:  Войти в почту example com вход

5n 2 = 5 n 2 ,

поскольку предел n 2 , очевидно, не существует.

В заключение мы рассмотрим пример на вычисление предела переменной величины с использованием приведенных выше теорем. Пусть требуется найти

Разделим числитель и знаменатель данной дроби на n 2 . В результате получим:

Теперь, используя приведенные выше теоремы, получаем:

Здесь мы воспользовались очевидными равенствами:

1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Задание. Вычислить предел $lim _left(x^<3>-x+7
ight)$

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. $lim _left(x^<3>-x+7
ight)=7$

2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Задание. Вычислить предел $lim _[(x-1) cdot(x+2)]$

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

$=(2-1) cdot(2+2)=1 cdot 4=4$

Ответ. $lim _[(x-1) cdot(x+2)]=4$

3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Задание. Вычислить предел $lim _ frac$

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

4° Константу можно выносить за знак предела:

Задание. Вычислить предел $lim _left(6 x^<2>-1
ight)$

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. $lim _left(6 x^<2>-1
ight)=5$

5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Задание. Вычислить предел $lim _left(6 x^<2>-1
ight)^<3>$

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ. $lim _left(6 x^<2>-1
ight)^<3>=125$

Вы поняли, как решать? Нет?

Разделы

Краткая теория

Онлайн калькуляторы

Рассчитайте цену решения ваших задач

Калькулятор
стоимости

Решение контрольной
300-600 рублей —> от 300 рублей *

* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

«Сегодня от своего лица хочу поблагодарить этот сайт за помощь мне с учебой. Здесь я пользовалась не только материалами, но и нашла преподавателей которые решали мне задачи.

Если тебе нужно что-то сделать в универе, я сама рекомендую. А также пользуйся моей ссылкой и получай 300 руб. на счёт при регистрации.»

Ссылка на основную публикацию
Чем обработать сколы на машине от ржавчины
Получайте на почту один раз в сутки одну самую читаемую статью. Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте. 1. Если...
Хорошие характеристики для ноутбука
На сегодняшний день портативной электроникой никого не удивишь - персональным носимым компьютером имеют право именоваться не только планшеты, плееры и...
Хорошие щетки стеклоочистителя отзывы
Проверяем щетки стеклоочистителей. На испытаниях — 8 брендов. Сегодня можно определить к себе на службу дворника любой националь… простите, конструкции:...
Чем опасно низкое напряжение в сети
Эффект «проседания» входного напряжения ниже установленной нормы довольно распространенная проблема. Она более характерна для электроснабжения в сельской местности, но нередко...
Adblock detector