Что такое базисное решение

Что такое базисное решение

Для решения этой задачи существует теорема, приводимая без доказательства Всегда можно найти оптимальное (базисное) решение транспортной задачи, в которой число корреспонденции не будет превышать т + п — 1 . В ряде случаев можно получить несколько оптимальных решений, которые дадут минимум транспортных расходов. [c.285]

При нахождении оптимального варианта искомыми величинами являются интенсивность выполнения отдельных работ У и- Диапазон изменения этих величин от У п до У .4Х. Изменение интенсивности выполнения работ специализированной бригадой достигается путем введения сменности или добавлением (исключением) технологических звеньев. В качестве исходного (базисного) решения сетевой модели может быть принят вариант строительства КС и НС при минимальной интенсивности выполнения всех работ сетевого графика, то есть вариант, соответствующий минимальной численности рабочих и минимальной величине затрат на передислокацию строительно-монтажных подразделений. В этом случае продолжительность строительства КС и НС, как правило, больше директивного срока. В связи с большим количеством решений сетевой модели простой их перебор невозможен даже с применением современных ЭВМ. Для уменьшения числа рассматриваемых решений сетевой модели могут быть использованы оценки изменения продолжительности выполнения процессов [4]. [c.66]

Найденные в результате решения подзадач (2.30) значения относительных оценок "с- анализируются совместно с относительными оценками остальных небазисных переменных. Последующие процедуры определения столбца, выводимого из базиса, ввода в базис нового столбца и преобразования базисного решения аналогичны стандартной симплекс-процедуре. [c.31]

Процедура решения задачи (2.28) может быть модифицирована в зависимости от объема располагаемой исходной информации. Например, при частично известном базисном решении или известном решении задачи с фиксированными параметрами удается упростить схему вычислений. При этом особое внимание необходимо уделить возможности сокращения числа подзадач, решаемых на каждой итерации. [c.31]

Столбец Rjr заменяется столбцом Rs, и осуществляется соответствующее преобразование базисного решения. Возврат к процедуре 4. [c.33]

Исходная задача (2.28) в результате фиксации варьируемых векторов RJ на некоторых- номинальных значениях К° может быть приведена к обычной задаче линейного программирования с фиксированными параметрами. Далее стандартной симплекс-процедурой осуществляется решение задачи с фиксированными параметрами. На f-й итерации выявляется несовместность системы ограничений (2.28) при номинальных значениях Rj = Rj. В этом случае базисное решение 1- итерации [c.33]

Осуществляются замена столбца Rjr столбцом Ks и соответствующее преобразование базисного решения. [c.34]

Рассмотренный случай, когда в качестве исходного базисного решения задачи (2.28) рассматривается решение задачи (2.34), имеет ряд преимуществ по сравнению с общим случаем. Основные из них заранее гарантируется оптимальность решения значительно сокращаются объем вычислений и затраты машинного времени облегчается контроль результатов расчета. Однако по сравнению с линейными задачами с фиксированными параметрами объем вычислений остается все же достаточно большим. В связи с этим целесообразно модифицировать процедуры 2 и 4. [c.34]

Второй способ. В результате решения подзадачи вида (2.30) определяется значение относительной оценки 7,- для варьируемого столбца с минимальным индексом / (подзадачи заранее упорядочиваются в порядке возрастания /). Если с= 0, то вектор столбца R s претендует на ввод в базис и для последующих столбцов на данной итерации подзадачи не решаются. Затем определяется столбец, подлежащий выводу из базиса, и осуществляются замена и соответствующее преобразование базисного решения. В данном случае на начальной стадии число подзадач, решаемых на каждой итерации, значительно меньше nl, однако по мере приближения к оптимуму число решаемых подзадач постепенно возрастает. [c.34]

Формируется смешанное" базисное решение, включающее известные компоненты вектора X, искусственные и дополнительные переменные. [c.35]

Разобьем матрицы А, X и С на подматрицы (клетки) в соответствии с принятым базисным решением — исходным (или опорным) планом. [c.74]

Задача (5.8) решается симплекс-методом. Для этого находим базисное решение (5.8). [c.200]

Допустимой симплекс-таблице соответствует точка минимума, если все коэффициенты целевой функции неотрицательны. Тогда минимальное значение целевой функции равно Y . Если критерий не выполнен, т.е. не все коэффициенты целевой функции положительны, то следует перейти от одного допустимого базисного решения к соседнему допустимому, в котором множество базисных и свободных переменных изменены на один элемент. В невырожденном случае этому геометрически соответствует переход от одной вершины к другой вдоль ребра ОДР (обе вершины принадлежат одному ребру). Этот процесс называется симплекс-шагом или заменой базиса. Рассмотрим это на примере. [c.202]

Поскольку целевая функция линейна, Рк показывают, насколько изменится значение целевой функции при изменении к-тл переменной на единицу, т.е. характеризуют чувствительность целевой функции к изменению л. Если все коэффициенты целевой функции неотрицательны (ркт + > О,. . Рк > 0), то минимальное значение целевой функции равно Q0. Если критерий не выполнен, т.е. не все коэффициенты целевой функции неотрицательны, то следует перейти от одного допустимого базисного решения к соседнему, т.е. такому, в котором множества базисных и свободных переменных изменены на один элемент. Этот процесс называют симплекс-шагом или заменой базиса. Опишем последовательно его этапы. [c.271]

Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. [c.172]

Понятие М. используется в геометрической интерпретации задач линейного программирования множество допустимых решений задачи является выпуклым М., базисное решение или опорный план — одной из его вершин. (См. Вершина допустимого многогранника). [c.198]

Найти любое допустимое базисное решение [c.322]

Читайте также:  Как в гта 4 прописать код

Последующий материал, посвященный анализу оптимального решения в задаче Канторовича, существенно использует симплекс-процедуру перехода от начального допустимого базисного решения к оптимальному решению. В связи с этим необходимо напомнить табличный метод нахождения оптимального решения в задаче линейного программирования. Среди множества реализаций симплекс-процедуры выберем ту, которая, во-первых, в явном виде разделяет базисные и свободные переменные и позволяет в последней симплекс-таблице выделить так называемую матрицу эффективности, а во-вторых, хорошо приспособлена для решения на ЭВМ. [c.65]

Заполненная таким образом табл. 2.3 соответствует матрице коэффициентов (2.13) при новом составе базисных и свободных переменных. Отметим попутно, что а ю > 0, так как й 00 является произведением положительных чисел а, 0 (в силу допустимости предыдущего базисного решения) и а., (в силу процедуры выбора [c.71]

Так как решаемая задача — задача на максимум, то соотношения (2.20) показывают, что начальное базисное решение является допустимым, но не оптимальным (коэффициенты при хр х2 и х3 в выражении для с не являются неотрицательными числами). [c.72]

В следующих таблицах представлена формальная процедура поиска оптимального решения с использованием симплекс-процедуры, основанной на выделении ведущих столбца и строки и пересчете коэффициентов матрицы нового базисного решения. [c.124]

Смежные вершины (крайние точки) отличаются только одной переменной в каждой группе свободных и базисных переменных. Все допустимые вершины определяются, как все неотрицательные базисные решения системы линейных уравнений (1.6). [c.448]

Расширенную матрицу системы линейных уравнений, которая определяет неотрицательное базисное решение исходной системы, будем называть К-матрицей. [c.448]

В данном диапазоне изменения запаса сырья S переменные Х, Хь Хъ остаются базисными и определяют оптимальное базисное решение. В этом случае остаются неизменными виды производственной деятельности. [c.451]

Замечание Если одновременно и столбец и строка удовлетворяют ограничениям, очередная переменная, включаемая в базисное решение, обязательно имеет нулевое значение. [c.484]

СПРОСА И ПОТРЕБЛЕНИЯ 107 Аналоговое моделирование 45 АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ 145 Аппаратное МО 150 АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО — ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ 89 Ассортиментный набор 57 Базисная точка 126 БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ 116 БАЙТ 145 БАЛАНСОВЫЙ МЕТОД 75 БАНК ДАННЫХ 132 БАРОМЕТРЫ В ЭКОНОМИКЕ 90 БЕЗУСЛОВНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПРОГНОЗ 90 БИБЛИОТЕКА СТАНДАРТНЫХ [c.156]

Базисное решение задачи линейного программирования 215, 220 [c.424]

Можно заметить, что искомое решение сетевой модели находится между рассмотренными базисными решениями. При этом базисный вариант-П удовлетворяет заданному ограничению по срокам строительства, а базисный варигнт I не может быть принят в качестве допустимого решения по продолжительности строительства. [c.76]

В отличие от метода Данцига — Вульфа, в котором производственные возможности отдельных предприятий представляются в виде линейной комбинации всех базисных решений х (s= , М ), в аппроксимаци-онных моделях выпуклые многогранники ооычно задаются на базе ограниченного множества опорных плановых решений. Ограниченность числа рассматриваемых в аппроксимационных моделях вариантов позволяет сократить размерность задач и объем обрабатываемой информации. [c.25]

Существуют различные методы определения опорных способов производства. В качестве опорных способов в аппроксимационных моделях используются 1) базисные или оптимальные базисные решения, определенные в результате решения серии экстремальных задач с неагрегированными переменными, параметрами и способами производства 2) опорные планы, оцененные экспертным путем 3) статистически обоснованные и имевшие прецедент плановые решения. [c.25]

БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ (опорный план) [basi solution] — термин линейного программирования, одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых решений, либо (если линия уровня параллельна одному из отрезков границы области) Б.р. — весь этот отрезок (см. рис. Л.2 к ст. "Линейное программирование"). Оно является решением системы линейных ограничений, которое нельзя представить в виде линейной комбинации никаких других решений. [c.26]

ВЫРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧА [degenerate problem] — задача линейного программирования, в которой при разложении вектора ограничений В (обозначения см. в ст. "Линейноепрограммирование") по некоторому базису а]х. . ат по крайней мере один коэффициент оказывается равным нулю. Такая ситуация затрудняет решение задачи симплексным методом, вызывая явление "зацикливания", при котором одно и то же множество базисных решений будет периодически повторяться, а оптимальный план никогда не будет достигнут. [c.59]

СИМПЛЕКСНАЯ ТАБЛИЦА (СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦА) [simplex table] — матрица, служащая средством перебора допустимых базисных решений (невырожденной) задачи линейного программирования при ее решении симплексным методом. Образуется из матрицы коэффициентов системы уравнений линейного программирования, приведенной к "канонической форме"75 последовательное ее преобразование по т.н. симплексному алгоритму позволяет за ограниченное количество шагов (итераций) получать искомый результат — план, обеспечивающий экстремальное значение целевой функции. [c.322]

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (симплекс-метод) [simplex method] — вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений — перехода от одной базисной точки (см. Базисное решение) к другой, для которой значение целевой функции больше (эти операции фиксируются в симплексной таблице). Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов (за исключением т.н. вырожденной задачи, при которой возможно явление "зацикливания", т.е. многократного возврата к одному и тому же положению). Название метод получил от термина " -мерный симплекс". Геометрическая интерпретация метода состоит в последовательном движении по верши) шм симплекса. [c.322]

По виду коэффициентов матрицы (2.13) легко судить, является ли найденное базисное решение допустимым и, если оно допустимо, то будет ли оптимальным. Действительно, замечая, что столбец коэффициентов ай (/ 0) представляет собой базисное решение, соответствующее базису tv. tm, а строка коэффициентов aoj (/ 0) представляет собой взятые с обратным знаком коэффициенты при свободных переменных в выражении для с, приходим к выводу, что базисное решение, соответствующее базису /iv. fm, допустимо, если аю > 0 (в нашем случае это действительно так аю — bt > 0). Если, кроме того, av> 0, то это базисное решение является и оптимальным, так как линейная форма (2.11) принимает наибольшее значение, равное ат, при равенстве нулю свободных переменных (в нашем случае это условие не выполняется, так как все элементы первой строки матрийы (2.13) неположительны). Таким образом, матрица (2.13) ет допустимому базисному решению, но не оптимальному. [c.68]

Читайте также:  Телефон упал в воду как его просушить

БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ — термин линейного программирования. Так называют одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых решений (рис. 10 к статье Линейное программирование ). Почему оно базисное Дело в том, что при решеиии задачи линейного программирования можно поступить так найти любое из вершинных решений, на обязательно оптимальное, и принять №0 за исходный пункт расчетов. Оно и будет базисным. Если окажется, что оно и оптимальное, расчет на том закопчен. Если нет—последовательно проверяют, не будут ли оптимальными соседние вершинные точки ту из них, в которой план эффективнее, принимают снова за исходную точку, и так, последовательно проверяя на оптимальность аналогичные вершины, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе строится так называемый симплекс—метод решения задач линейного программирования. [c.116]

Осп. понятием, связанным с МПУ, является понятие допустимого базисного решения (опорного плана). Т. к. в обычной задаче Л. п. количество переменных превышает количество уравнений для их определения, то имеется свобода в выборе значений нек-рого количества переменных. При задании базисного решения псе переменные делятся на базисные и иобазпсные, причём последние полагаются равными 0. Значения базисных церемонных находятся решением системы ограничений задачи. Количество базисных переменных таково, чтобы это решение существовало п было единственным. [c.357]

Пусть переменных называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные переменных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний то и базисных решений имеется не более

Совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

— менее трудоемкий метод;

— позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;

— дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим расширенную матрицу по данной системе

поменяем местами первую и вторую строку

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку на и сложим с третьей строкой

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю

Ранг основной матрицы ранг расширенной матрицы следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице число столбцов в основной матрице следовательно, система имеет множество решений.

Выявим базисные переменные

следовательно, базисные переменные, тогда

Разрешенная система уравнений

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Дать характеристику системе уравнений.

Решение:

1. Входит ли в состав системы линейных уравнений противоречивое уравнение? (Если коэффициенты , в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым.)

  • Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные. (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

  • В нашем примере неизвестная входит в первое уравнение с коэффициентом единица, во второе уравнение не входит, то есть является первой разрешенной .
  • Аналогично — содержится только во втором уравнении а только в первом.

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

  • Наша система является разрешенной т.к. каждое уравнение содержит в себе разрешенные неизвестные )

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными ( ), а не входящие в набор — свободными ( ).

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:

!На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

  • Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
  • Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Читайте также:  Ошибка принтера 6502 canon

Решение:

1. Проверяем является ли система разрешенной?

  • Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения.

  • В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения — и , а из второго уравнения только . То есть набор может состоять из ( ) или ( ).

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор.

  • допустим мы включили в набор неизвестные и , тогда общее решение будет выглядеть так:

4. Находим частное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

  • Пусть , , , тогда из общего решения находим:

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

  • , то из общего решения получаем , и базисное решение:

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:

  1. Уравнение с разрешающим элементом делится на этот элемент (умножается на )
  2. Уравнение с разрешающим элементом умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим уравнениям для того, чтобы исключить неизвестную .

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

  1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
  2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
  3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
  4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
  5. Далее заново переходят к пункту 1

Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса.

Найти: два общих и два соответствующих базисных решения

Решение:

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.

Равносильная система с разрешенными неизвестными и имеет вид:

Теперь можем записать Общее решение:

Приравниваем свободные переменные и нулю и получаем: .

Базисное решение:

Для того чтобы найти второе общее и соответствующее ему базисное решение, в полученной разрешенной системе в каком-либо уравнении необходимо выбрать какой-либо другой разрешающий элемент. (дело в том, что линейное уравнение может содержать несколько общих и базисных решений). Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит неизвестных и уравнений, то число общих и соответствующих базисных решений исходной системы равно числу сочетаний и . Количество сочетаний можно вычислить по формуле:

В нашем случае выбран разрешающий элемент (-1) в первом уравнении при (строка 7). Далее производим преобразование Жордана. Получаем новую разрешенную систему (строки 10,11) c новыми разрешенными неизвестными и :

Записываем второе общее решение:

И соответствующее ему базисное решение:

Ссылка на основную публикацию
Что такое shell core
Офис built-to-suit Shell & core – состояние офисного помещения «под отделку», в данном помещении присутствуют только бетонная стяжка, стеклопакеты, подведенные...
Что лучше ps3 или ps4
PlayStation 4 выпуска 2013 года позиционируется на рынке как флагман нового поколения игровых приставок от Sony. Анонс новинки дал понять,...
Что лучше амд или нвидиа для игр
Война видеокарт никогда не прекращается. Если вы спросите консольного игрока, он вам подробно расскажет о бесконечном соперничестве между Xbox One...
Что такое sptd в daemon tools
Подлинный файл является одним из компонентов программного обеспечения SPTD Device Driver, разработанного Duplex Secure. Sptd.sys - это драйвер в Windows....
Adblock detector