Что значит четное и нечетное число

Что значит четное и нечетное число

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 1111, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
  • Чётное ± Чётное = Чётное
  • Чётное ± Нечётное = Нечётное
  • Нечётное ± Чётное = Нечётное
  • Нечётное ± Нечётное = Чётное
  • Умножение:
    • Чётное × Чётное = Чётное
    • Чётное × Нечётное = Чётное
    • Нечётное × Нечётное = Нечётное
    • Деление:
      • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
      • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
      • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
      • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное
      • История и культура

        Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

        В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

        Примечания

        Wikimedia Foundation . 2010 .

        Смотреть что такое "Четные числа" в других словарях:

        Числа — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов

        Четные и нечетные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

        ЧИСЛА — ♥ ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник

        Пифагор и пифагорейцы — Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

        "Сакральный" смысл чисел в верованиях и учениях — К материалу "07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел" С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров

        Пифагор и пифагорейцы — П., сын Мнезарха, уроженец Самоса, процветал при тиране Поликрате (533 2 или 529 8 г.; Busolt, Gr. Gesch. , II, 233, 1) и основал общество в Кротоне, италийском городе, находившемся в тесных сношениях с Самосом. По словам Гераклита, он был ученее … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

        Случайное простое число — В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов , на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия

        АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… … Математическая энциклопедия

        Счастливое число — В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия

        НУМЕРОЛОГИЯ — методы определения скрытых истин с помощью толкования чисел. В основе нумерологии лежит идея о том, что каждое число является символом неких понятий. Например, 1 это единство, Бог, начало и неделимость; 2 двойственность, разделение, анализ,… … Символы, знаки, эмблемы. Энциклопедия

        Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, потому что оно делится без остатка на 2:

        Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, потому что после его деления на 2 остается остаток 1:

        Читайте также:  Свежий морфемный разбор слова

        21 : 2 = 10 (1 в остатке)

        Как распознать чётное число от нечетного, не делая деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

        Например, число 308 чётно, потому что оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, потому что оканчивается четной цифрой. Числа 305 и 1027 являются нечётными, потому что они оканчиваются нечётными цифрами.

        Конечно, чётность и нечётность чисел можно проверить, сделав деления на 2, но в данном случае, когда это можно сделать «на глаз», считаем деление лишней операцией.

        Простые и составные числа

        Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:

        Значит, 5 является простым числом.

        Составнымже называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, потому что у него два и более делителя: 4, 2 и 1:

        Значит, 4 является составным число.

        Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

        Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11388 — | 7617 — или читать все.

        Введение. Понятие чётности очень важно для развития математической культуры школьника. Теоретически это понятие простое и обычно не вызывает трудностей. Задачи же, связанные с чётностью, могут варьироваться от самых простых до очень сложных. Эти зада­чи позволяют на простом материале ввести школьника в разно­образный круг математических идей.

        Вводная задача 1. Николай с сыном и Пётр с сыном пошли на рыбалку. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр — столько же, сколько его сын. Все вместе поймали 27 рыб. Сколько рыб поймал Николай?

        Решение. Сначала кажется, что в задаче не хватает данных: два неизвестных и од­но уравнение. Затем кто-то должен сообразить, что условия задачи проти­воречивы. Действительно, отцы поймали столько же рыб, сколько и сыновья. Но тогда общее число рыб должно быть чётным, а по условию оно нечётно.

        Вариант рассуждения: Николай с сыном вместе поймали чётное число рыб. То же верно и для Петра с сыном. Значит, и сумма этих чисел чётна. (Если школьники сами не догадаются до одного из этих соображений, следует им немного подсказать).

        Но никакого противоречия нет! К противоречию привело неявное пред­положение о том, что на рыбалке было четыре человека. Но их могло быть и три (Николай — сын или отец Петра). Из условия теперь следует, что все поймали рыб поровну, то есть по 9 штук. С этой задачей (но не с её решением) желательно ознакомить школьников за несколько дней до начала первого занятия. [1]

        1. Определение четных и нечетных чисел

        Первое занятие по теме «Четность-нечетность» можно начать с забавного вопроса: «Нуль — четное число или нечетное?» Ребята задумываются… Тогда приходится начать дискуссию: «Нуль делится на 2»? Через некоторое время дети отвечают: «Да». Тогда задаю еще раз тот же вопрос: «Так нуль — число четное или нечетное»? И тут уже всё понятно: «Четное»!

        Понятие четности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечетные числа соответствовали ян, что означало небо, благоприятность, а четные – это инь, земля, изменчивость, неблагоприятность. В Европе и некоторых восточных странах считается, что четное количество даримых цветов приносит счастье. В России четное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. В случаях, когда в букете много цветов, четность или нечетность их количества уже не играет такой роли.

        Далее идет обсуждение вводной задачи. Она позволяет начать разговор об определении и свойствах чётности. Прежде всего, мы использовали тот факт, что число вида п + п чётно (отцы поймали столько же рыб, сколько сыновья, поэтому вместе они поймали чётное число рыб).

        Вот ещё одна задача, иллюстрирующая ту же идею.

        Задача 2. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в ис­ходную точку. Все прыжки имеют одинаковую длину. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

        Решение. Сколько раз он прыгнул вправо, столько же прыг­нул и влево (так как вернулся в исходную точку)… Откуда следует, что число вида п + п = 2п чётно? А это про­сто определение.

        Определение. Целое число называется четным, если оно делится на 2 без остатка, и нечетным, если оно на 2 не делится.

        Таким образом, «общий вид» чётного числа 2п, где п — произвольное целое число. Речь идёт именно о целых, а не только о натуральных (то есть целых положительных) числах. В частности, важно понимать, что 0 — тоже чётное число.

        Читайте также:  Виртуальное путешествие в сети интернет

        Каков же «общий вид» нечётного числа? 2n + 1. Действитель­но, если от нечётного числа отнять 1, то оно станет чётным, то есть нечётное число равно сумме чётного числа 2п и единицы. Часто используется запись нечётного числа и в виде 2п — 1.

        2. Свойства четных и нечетных чисел

        Свойство 1. Из определения чётного числа сразу следует, что произведе­ние любого (целого) числа на чётное число чётно. Доказательство: k • 2п = 2(kn).

        Свойство 2. Несколько более сложно проверить, что произведение двух не­чётных чисел нечётно. Доказательство: (2k + l)(2n + 1) = 2(2kп + k + п) + 1.

        Определение. Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба четные или оба нечетные. Два целых числа называют числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.

        Свойство 3. Сумма двух чисел разной чётности нечётна.

        Доказательство: 2k + 2п + 1 = 2(k + п) + 1 = 2m + 1, где m = k + п – целое число. Сумма нечетна.

        Свойство 4. Сумма двух чисел одной чётности чётна.

        Доказательство: 2k + 2п = 2(k + п) = 2m, где m = k + п — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

        2k + 1 + 2п + 1 = 2(k + п + 1) = 2m, где m = k + п + 1 — целое число. Таким образом, сумма — четное число.

        Обратные утверждения. Затем можно предложить ребятам сформулировать и доказать утверждения, обратные утверждениям о четности суммы.

        Если сумма двух чисел нечётна, то слагаемые имеют разную чётность. Доказательство. Действительно, если бы они имели оди­наковую чётность, то сумма была бы чётной.

        Если сумма двух чисел чётна, то слагаемые имеют одинако­вую чётность. Доказательство аналогично.

        Перейдем к следующему свойству четных и нечетных чисел.

        Задача 3 (подготовительная). Сумма трех чисел нечётна. Сколько слагаемых нечётно? Ответ: одно или три.

        Решение. Нетрудно привести примеры, показывающие, что оба случая возможны. Остальные два случая (нечётных слагае­мых два или их нет совсем) легко приводятся к противоречию. Теперь можно перейти к наиболее общей формулировке.

        Свойство 5. Чётность суммы совпадает с чётностью количества не­чётных слагаемых.

        Доказательство. 2а1 + 1 + 2а2 + 1 + … + 2ап + 1 = 2(а1 + а2 + … + ап) + п. Первое число — четное, потому что оно представляет собой произведение, одним из его сомножителей является число два, а второе число — четное по условию (n — четное число слагаемых). Сумма двух четных чисел — четная.

        Аналогичные рассуждения приводятся для нечетного количества нечетных слагаемых. Учащиеся делают вывод: нечетность суммы совпадает с нечетностью количества нечетных слагаемых.

        3. Задачи на применение свойств четности и нечетности [2]

        Задача 4. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

        Решение. На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Поэтому число 1990 у Антошки получиться не могло.

        Задача 5. В школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Доказать, что такого не может быть.

        Решение. Если девочек х, то всего учеников 2х + 373, а это число нечетное как сумма четного и нечетного чисел.

        Задача 6. Четно или нечетно число 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 993?

        Решение. Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 — ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т.д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 993. Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, сумма нечетна.

        Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки плюс и минус, чтобы получилось выражение, равное нулю?

        Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1 + 2 + . + 10 = 55. Данная сумма всегда будет нечетной, а 0 — четное число.

        Задача 8. Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?

        Решение. Нет, т.к. сумма нечетного количества нечетных слагаемых — нечетное число.

        Задача 9. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

        Решение. Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1, a2, a3, a4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1, b2, b3, b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:

        a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = b1 + b2 + b3 + b4. Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.

        Задача 10. Верно ли равенство 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 99 100 = 20002007?

        Решение. Произведения четного и нечетного чисел четны, а сумма четных слагаемых всегда четна.

        Задача 11. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

        Решение. Из 17 натуральных чисел 8 четных: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, а остальные 9 чисел нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна, а сумма девяти нечетных — нечетна. Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел.

        Читайте также:  Как забиндить текст на клавишу

        Задача 12. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место?

        Решение. Чтобы вернуться на старое место, общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1 + 2 + 3 + … + 25 нечетна. Поэтому вернуться на прежнее место кузнечик не сможет.

        Задачи для самостоятельного решения

        Задача 13. Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами достоинством 1, 3 и 5 руб.?

        Решение. Если мы сложим четное число каких-либо целых чисел, то получим число четное, а 25 — нечетное число. Поэтому разменять 25 руб. таким образом нельзя.

        Задача 14. В магазин «Все для собак и кошек» привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

        Решение. Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 53 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

        Задача 15. У Антона было 5 плиток шоколада. Может ли Антон, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

        Решение. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А число 100 четно.

        Задача 16. У Нины было 11 плиток шоколада фабрики "Краскон". Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

        Решение. Нет, т.к. если сложить 11 нечетных чисел, получим нечетный результат, а 100 — четное число.

        Задача 17. Доказать, что в равенстве 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 =20, «?» — это знаки плюс или минус, допущена ошибка.

        Решение. В выражении нечетное количество нечетных чисел. Ответ должен быть нечетным числом.

        4. Задачи на чередование [2]

        Свойства чередования:

        1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
        2. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:
        • начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов;
        • начало и конец одного вида, то нечетное число.

        Задача 18. Может ли вращаться система из 7 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., а седьмая сцеплена с первой?

        Решение. Нет. Если первая вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и седьмая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут.

        Задача 19. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

        Решение. Нет, не может. Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.

        Задача 20. Все костяшки домино выложили (соблюдая правила игры) в одну длинную цепь. На одном конце этой цепи оказалось 5 очков. Сколько очков может быть на другом конце цепи?

        Решение. Если где-то лежит костяшка ∗ − 5, то рядом с ней лежит костяшка 5 − ∗ — возникает разбиение на пары. Сколько костяшек с пятеркой всего? Все ли они в этом разбиении на пары участвуют?

        Задачи на разбиение на пары [2]

        Свойство: если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

        Задача 21. Можно ли нарисовать 9 — звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

        Решение. Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.

        Задача 22. Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирук решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединке встречалось ровно две руки?

        Решение. Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.

        Задача 23. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

        Решение. Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

        1. Медников Л. Э. Четность. – 4-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013.

        2. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.

        Ссылка на основную публикацию
        Что делать если браузерные игры лагают
        Что делать если зависает браузерная игра, не грузится, лагает? Если игра не загружается, зависает, загрузка останавливается на определенном шаге, вы...
        Чем обработать сколы на машине от ржавчины
        Получайте на почту один раз в сутки одну самую читаемую статью. Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте. 1. Если...
        Чем опасно низкое напряжение в сети
        Эффект «проседания» входного напряжения ниже установленной нормы довольно распространенная проблема. Она более характерна для электроснабжения в сельской местности, но нередко...
        Что делать если взорвалось колесо
        Вы когда-нибудь видели взрыв шины? Это поистине экстремальное зрелище, особенно если речь идёт о грузовом транспорте. Взрываясь на ходу, куски...
        Adblock detector