Что значит перестановочные матрицы

Что значит перестановочные матрицы

Основные определения.

Определение. Матрицей размера mхn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm, то матрица называется симметрической.

Пример. — симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ
А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.
2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A*B = C;
.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ не равно ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Читайте также:  Регистры в 1с зарплата

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A*O = O; O*A = O,
где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:
(АВ) Т = В Т А Т , где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA*detB.
Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = ; В = А Т =;

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC) T = C T B T A T ,
при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А Т В+aС.

A T = ; A T B = * = = ;
aC = ; А Т В+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .
АВ = * = .
ВА = * = 2*1 + 4*4 + 1*3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=, В =
АВ = *= = .

Произведение матриц А и В обозначается АВ, т.е. С = АВ. Оно, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными. [c.54]

Вариации детерминанта дисторсии X. Из формулы для компонент обратной матрицы (3.1) и перестановочности операторов 6 и Э/Э а имеем [c.46]

Читайте также:  Чем отличается fx 8320e от 8320

Свойство 1. Пусть u,v e W1 и Р — произвольная перестановочная (п х п)-матрица. Тогда [c.76]

Свойство 2. Пусть М — произвольная (п х п)-матрица и Р — произвольная перестановочная (п х п)-матрица. Тогда [c.76]

Под главным переупорядочением матрицы М будем понимать любую матрицу вида РТМР, где Р — перестановочная матрица. [c.76]

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА [matrix algebra] — математическая дисциплина, посвященная правилам действий пар. матрицами. Произведение матрицы [а.] на скаляр а представляет собой матрицу [аа.], т.е. матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы на скаляр сумма матриц [а.] + [Ь.] — матрицу [а.. + Ь ] умножение матриц определяется только рдяпрямоуголь-ных матриц, у которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, причем здесь не соблюдается закон коммутативности произведение матриц А я В может не быть равным произведению В на А. Если же АВ-ВА, то такие матрицы называются перестановочными. [c.189]

Если А и В неотрицательно определены и перестановочны (т.е. АВ = В А), то матрица С из упражнения 1 неотрицательно определена. Более того, С не вырождена (а значит положительно определена) в том и только том случае, когда А — В не вырождена. [c.282]

Дальше веса А = (ах. ар) будут определяться из условия минимума функционала качества (8.26). Будем полагать при этом, что весовая матрица W перестановочна с матрицей [c.267]

Рассматриваются матрицы, результатом умножения которых на любую прямоугольную матрицу является перестановка ее строк или столбцов.

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.
Читайте также:  Какой кабель для спутниковой антенны выбрать

Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

  1. Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
  2. Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, . 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы A = || ai j || является вторая строка (a21a22a23 . ) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

Таким образом, если в i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению j-ой строки матрицы A в позицию i-ой строки.

Аналогично, если в i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению j-го столбца матрицы A в позицию i-го столбца.

Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где — транспонированная матрица перестановок; E — единичная матрица.

где — дельта-символ Кронекера.

Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.

Терема 2. Матрица перестановок n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n — 1) элементарных матриц перестановок.

Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если браузерные игры лагают
Что делать если зависает браузерная игра, не грузится, лагает? Если игра не загружается, зависает, загрузка останавливается на определенном шаге, вы...
Чем обработать сколы на машине от ржавчины
Получайте на почту один раз в сутки одну самую читаемую статью. Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте. 1. Если...
Чем опасно низкое напряжение в сети
Эффект «проседания» входного напряжения ниже установленной нормы довольно распространенная проблема. Она более характерна для электроснабжения в сельской местности, но нередко...
Что делать если в айфон попала вода
Малая часть техники выпускается защищенной от влаги, а компания Apple и вовсе практически не заботится о защите своих устройств от...
Adblock detector