Формула вычисления смешанного произведения векторов

Формула вычисления смешанного произведения векторов

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Признак компланарности. Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abc . Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0 . Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c .
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

kor.giorgio@gmail.com Выход

Этот калькулятор онлайн вычисляет смешанное произведение 3-х векторов.

Онлайн калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Читайте также:  Что значит телефон на удержании

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac<2> <3>)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac<5> <7>)

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Сме́шанное произведе́ние ( a , b , c ) <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )> векторов a , b , c <displaystyle mathbf ,mathbf ,mathbf > — скалярное произведение вектора a <displaystyle mathbf > на векторное произведение векторов b <displaystyle mathbf > и c <displaystyle mathbf > :

( a , b , c ) = a ⋅ ( b × c ) <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )=mathbf cdot left(mathbf imes mathbf
ight)> .

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a , b , c <displaystyle mathbf ,mathbf ,mathbf > .

Содержание

Свойства [ править | править код ]

  • Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
Читайте также:  Как узнать версию биос gigabyte

( a , b , c ) = ( b , c , a ) = ( c , a , b ) = − ( b , a , c ) = − ( c , b , a ) = − ( a , c , b ) ; <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )=(mathbf ,mathbf ,mathbf )=(mathbf ,mathbf ,mathbf )=-(mathbf ,mathbf ,mathbf )=-(mathbf ,mathbf ,mathbf )=-(mathbf ,mathbf ,mathbf );>т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что ⟨ a , [ b , c ] ⟩ = ⟨ [ a , b ] , c ⟩ <displaystyle langle mathbf ,[mathbf ,mathbf ]
angle =langle [mathbf ,mathbf
],mathbf
angle >

  • Смешанное произведение ( a , b , c ) <displaystyle (mathbf ,mathbf

,mathbf )>в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителюматрицы, составленной из векторов a , b <displaystyle mathbf ,mathbf >и c <displaystyle mathbf >:

( a , b , c ) = | a x a y a z b x b y b z c x c y c z | . <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )=<egina_&a_&a_\b_&b_&b_\c_&c_&c_end>.>

  • Смешанное произведение ( a , b , c ) <displaystyle (mathbf ,mathbf

,mathbf )>в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителюматрицы, составленной из векторов a , b <displaystyle mathbf ,mathbf >и c <displaystyle mathbf >, взятому со знаком «минус»:

( a , b , c ) = − | a x a y a z b x b y b z c x c y c z | . <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )=-<egina_&a_&a_\b_&b_&b_\c_&c_&c_end>.>В частности,

  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение ( a , b , c ) <displaystyle (mathbf ,mathbf

,mathbf )>по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a , b <displaystyle mathbf ,mathbf >и c <displaystyle mathbf >; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими [1] :215 .
    • Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

    ( a , b , c ) = ∑ i , j , k ε i j k a i b j c k <displaystyle (mathbf ,mathbf ,mathbf )=sum _varepsilon _a^b^c^>

    Читайте также:  Отзывы о фильме скайлайн

    (в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

    Обобщение [ править | править код ]

    В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

    ( a , b , c , … ) = ∑ i , j , k , … ε i j k … a i b j c k … <displaystyle (mathbf ,mathbf

    ,mathbf ,ldots )=sum _varepsilon _a^b^c^ldots >

    В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

    Ссылка на основную публикацию
    Филипс диамонд вижн h7
    Заказав на экзисте лампы для ближнего света Philips Blue Vision Ultra (пост удалил), понял, что сильно поторопился, поскольку ничего не...
    Усилитель сигнала для тв антенны отзывы
    Характеристика в рейтинге 1 Alcad AL-200 Высокое качество во всех аспектах эксплуатации. Самый популярный усилитель в России 2 Eurosky SWA-105...
    Усилитель сотового сигнала отзывы
    Нашел вот еще информацию что Mobi-900 стал занял 1 место в рейтинге репитеров по версии журнала Provider-Review: http://provider-review.ru/reyting-usiliteley-sotovoy-svyazi.html А вот...
    Фигуры для оформления текста
    Методические рекомендации В Word 2007 можно добавлять два типа графики – Рисунки и Фигуры. Рисунок – изображение, созданное в другом...
    Adblock detector