Функция на всей числовой оси

Функция на всей числовой оси

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru

Что такое область определения функции

Чтобы находить области определения распространённых функций, на этом уроке порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

А что же такое область определения функции? Взглянем на график функции на рисунке. Каждой точке графика функции соответствует определённое значение "икса" — аргумента функции и определённое значение "игрека" — самой функции. От аргумента — "икса" — вычисляется "игрек" — значения функции. Область определения функции — это множества всех значений "икса", для которых существует, то есть может быть вычислен "игрек" — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает". Большая часть функций задаётся формулами. Поэтому область определения функции — это также наибольшее множество, на котором формула имеет смысл.

На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. А область определения функции — это все значения "икса" от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в "плюсовом" направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения корня n-й степени

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

если n — чётное число, то областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть [0; + ∞[ ;

Читайте также:  Провод перестал заряжать iphone

если n — нечётное число, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если — 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если — положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[ ;

если — отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество [0; + ∞[ .

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях "икса" не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или, что то же самое — множество R действительных чисел, или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти область определения функции .

Пример 7. Найти область определения функции .

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Читайте также:  Что будет если удалить обновления виндовс 7

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1] .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все x , кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо "икса", знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

Читайте также:  Как установить симс 4 скаченный

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2] .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 17. Найти область определения функции .

Пример 18. Найти область определения функции .

Область определения линейной функции

Если функция задана формулой вида y = kx + b , то область определения функции — множество R действительных чисел.

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых чисел и из промежутка таких, что убывающей на промежутке , если для любых чисел и из промежутка таких, что .

Рисунок 1.3.5.1.

На показанном на рисунке графике функция , возрастает на каждом из промежутков ; и ; и убывает на промежутке ; . Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков ; и ; , но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если – монотонная функция на промежутке , то уравнение не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если , также возрастает.

  • Если функция возрастает и – нечетное число, то также возрастает.
  • Композиция возрастающих функций и также возрастает.
  • Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

    Точка называется точкой максимума функции , если существует такая ε-окрестность точки , что для любого из этой окрестности выполняется неравенство .

    Точка называется точкой минимума функции , если существует такая ε-окрестность точки , что для любого из этой окрестности выполняется неравенство .

    Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

    В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

    Если для любого выполняется неравенство то точка называется точкой наибольшего значения функции на множестве :

    Если для любого выполняется неравенство то точка называется точкой наименьшего значения функции на множестве .

    Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

    Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

    График 1.3.5.1.
    График 1.3.5.2.
    График 1.3.5.3.

    Если существует число такое, что для любого выполняется неравенство , то функция называется ограниченной сверху на множестве .

    Если существует число такое, что для любого выполняется неравенство , то функция называется ограниченной снизу на множестве .

    Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве . Геометрически ограниченность функции на множестве означает, что график функции , лежит в полосе

    Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

    Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция sin .

    Ссылка на основную публикацию
    Фото для срисовки легкие но красивые карандашом
    Хотите научиться рисовать, но не знаете с чего начать? Подборка самых простых и легких картинок для срисовки помогут создать красивый...
    Филипс диамонд вижн h7
    Заказав на экзисте лампы для ближнего света Philips Blue Vision Ultra (пост удалил), понял, что сильно поторопился, поскольку ничего не...
    Фигуры для оформления текста
    Методические рекомендации В Word 2007 можно добавлять два типа графики – Рисунки и Фигуры. Рисунок – изображение, созданное в другом...
    Фото для школьной беседы
    Если обычный диалог подразумевает участие только двух пользователей, то в беседу можно позвать нескольких друзей. Эта функция удобна, если нужно...
    Adblock detector