Хотя бы один раз теория вероятности

Хотя бы один раз теория вероятности


Загрузить всю книгу

4.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий ,

определяется по формуле:

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.

Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:

Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3.

Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

  1. Хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
  2. Одного и только одного попадания в цель.
  3. «Попадут в цель только два стрелка».
  4. «Попадут в цель все стрелки одновременно».
  5. Промаха всех стрелков одновременно.

Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель по формуле (4.8): P ( A + B + C )=1- P ( ` A ) × P ( ` B ) × P ( ` C ).

P(A+B+C)=1– (1–0,6)×(1– 0,7)×(1– 0,75)=1– 0,4×0,3×0,25 =1-0,03= 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D = A × ` B × ` C +` A × B × ` C +` A × ` B × C .

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (4.2а), (4.7):

.

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка.

Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка.

X= ` A × B × C+ ` B × A × C+ ` C × A × B.

Тогда вероятность того, что попадут в цель только два стрелка, равна:

.

P(X)=(1– 0,6)×0,7×0,75+0,6×(1– 0,7)×0,75+0,6×0,7×(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

Событие ABC – все стрелки попали в цель.

Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно равна:

P(A × B × C) = P(A) × P(B) × P(C) = 0,6 × 0,7 × 0,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р().

Событие ` A × ` B × ` C – все промахнулись. Вероятность промаха всех стрелков одновременно: P `( A × ` B × ` C )=0,4 × 0,3 × 0,25=0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы событий:

Р (D) + P(X) + P(A × B × C) + Р ( ` A × ` B × ` C) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A — попадание в утку с первого выстрела, событие B — попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B — попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или AB. Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B, или одновременно A и B.

Больше о сути логической суммы можно узнать в соответствующем месте статьи "Булева алгебра (алгебра логики)".

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

(3)

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Можно рассчитать как классические, так и статистические вероятности.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие — «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А:

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q. В частности,

Читайте также:  Переходник для программатора ch341a

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

и .

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ. Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

(5)

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

(6)

(7)

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

(8)

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

  • взаимно независимыми;
  • взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P(AB) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

  • вероятность того, что победят обе автомашины;
  • вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A — выпадение герба на первой монете. Событие B — выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Логическим произведением двух событий А и В, обозначаемым АВ, называют событие, которое понимают как одновременное наступление событий А и В. Больше о сути логического произведения можно узнать в соответствующем месте статьи "Булева алгебра (алгебра логики)".

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

(4)

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Решение. Найдём вероятности противоположных событий – того, что груз не будет доставлен одним из видов транспорта:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти требуемую в условии задачи вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта:

Решить задачу на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Событие А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая. Событие B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная. Найти вероятность события C = A + B .

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Читайте также:  Как отключить caps lock windows 7

Умножение вероятностей взаимно зависимых случайных событий

Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми.

Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей взаимно зависимых событий. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого, то есть вычисляется по формуле:

Пример 12. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что первый билет будет с выигрышем, вероятность того, что второй билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике и вероятность того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.

Решение. Найдём вероятность того, что первый взятый билет будет с выигрышем:

Найдём вероятность того, что второй взятый билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике:

Найдём теперь вероятность того, что оба взятые подряд билеты будут с выигрышем, т.е. вероятность общего наступления двух зависимых событий, которая является произведением вероятности первого события и условной вероятности второго события:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей".

Пусть имеется некоторый набор независимых в совокупности событий А1, А2, …, Аn, связанных с некоторым экспериментом. Допустим, что известны вероятности, с которыми каждое из этих событий может появиться: Р(А1) = р1, Р(А2) = р2 , …, Р(Аn) = рn. Выясним, с какой вероятностью появиться хотя бы одно из этих событий. Обозначим интересующее нас событие: А – появилось хотя бы одно из группы событий А1, А2, …, Аn. Здесь как раз тот случай, когда гораздо проще вычислить вероятность не самого события А, а противоположного ему события Ā – ни одно из событий А1, А2, …, Аn не произошло. Но если не произошло событие, к примеру, А1, то это означает, что произошло противоположное для него событие Ā1. Поэтому событие Ā происходит только в том случае, когда одновременно происходят все события А1, А2, …, Аn, т. е. Ā = Ā1·Ā2· … ·Ān. Из совокупной независимости событий А1, А2, …, Аn следует совокупная независимость системы противоположных событий Ā1, Ā2, …, Ān (см. замечание после теоремы с формулой (15.3)). Поэтому из формулы (15.3) получаем Р(Ā) = Р(Ā1·Ā2· … ·Ān) = Р(Ā1)·Р(Ā2)· … ·Р(Ān). Обозначим для краткости вероятности противоположных событий: q1 = Р(Ā1), q2 = Р(Ā2), …, qn = Р(Ān). Ясно, что q1 = 1 – p1 , …, qn =1– pn (так связаны вероятности противоположных событий). Таким образом, имеем формулу Р(Ā) = q1 q2qn, тогда Р(А)=1 – Р(Ā)=1 – q1 q2qn. Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события из системы независимых в совокупности событий А1, А2, …, Аn равна единице минус произведение вероятностей событий, противоположных данным:

Задача 1. В продаже имеется 3 противоугонных устройства, которые в случае попытки угона срабатывют с вероятностями р1 = 0,75, р2 = 0,8 и р3 = 0,93 соответственно. Суммарная стоимость первых двух устройств равна стоимости третьего. Что выгоднее купить – два первых или одно третье?

Поскольку по стоимости обе покупки одинаковы, то предпочесть нужно ту, при использовании которой труднее угнать машину. Допустим, что на машину поставлены 2 два первых устройства. С какой вероятностью сработает хотя бы одно из них в случае попытки угона? Обозначим события: А1 – сработало первое, А2 – второе, А – сработало хотя бы одно из них. Поскольку устройства работают независимо одно от другого, то события А1 и А2 можно считать независимыми в совокупности (хотя легко видеть, что в случае двух событий независимость в совокупности равносильна обычной независимости двух событий). Поэтому по формуле (16.1) с параметрами р1 = =0,75 и р2 = 0,8 (а потому q1 = 0,25 и q2 = 0,2) Р(А) = 1 – 0,25 · 0,2 = 0,95. Если же на машину будет поставлено одно третье противоугонное устройство, то в случае попытки угона оно сработает с вероятностью р3 = 0,93. Вывод сделайте сами. Вот еще одна типичная задача на заданную тему.

Задача 2. Есть три стрелка, которые попадают в мишень с вероятностями р1 = 0,7, р2 = 0,8 и р3 = 0,9 соответственно. Какова вероятность поражения мишени при выстреле по ней всех стрелков залпом?

Обозначим события: А1 – попал первый, А2 – второй, А3 – третий стрелок, А – мишень поражена (т. е. попал хотя бы один из них). Поскольку результаты стрельбы одного из них не влияют на результаты стрельбы другого, то события А1, А2 и А3 можно считать независимыми в совокупности. Поэтому по формуле (16.1) с параметрами р1 = 0,7, р2 = 0,8 и р3 = 0,9 (а потому q1 = 0,3, q2 = 0,2 и q3 = 0,1) Р(А) = 1 – 0,3 · 0,2 · 0,1 = 0,994.

Посмотрим на эту задачу под другим углом зрения. У нас имелся один эксперимент (состоящий из трех выстрелов), и в рамках этого эксперимента мы рассматривали три независимых в совокупности события: А1 – попал первый, А2 – второй, А3 – третий стрелок. Часто подобную ситуацию удобно рассматривать как проведение трех независимых экспериментов (выстрел первого стрелка, выстрел второго и выстрел третьего), в каждом из которых мы интересуемся появлением некоторого события (попадание в мишень), которое в каждом эксперименте может произойти со своей вероятностью ( в нашем случае с вероятностями р1 = 0,7, р2 = 0,8 и р3 = 0,9). Нам нужно определить, с какой вероятностью интересующее нас событие (попадание в мишень) произойдет хотя бы один раз. Понятно, что это переформулировка одной и той же задачи, и решение будет использовать ту же формулу (16.1). Переформулируем аналогичным образом общую сформулированную теорему в виде следствия из нее (от одного испытания с n независимыми событиями перейдем к n независимым испытаниям, в которых будем интересоваться одним событием).

Следствие 1. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностями р1, р2 , …, рn соответственно. Тогда вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться хотя бы один раз, равна

Читайте также:  Контакты гугл аккаунт вход

Важным частным случаем является тот, при котором вероятность появления интересующего нас события одна и та же во всех независимых опытах , т. е. р1 = р2 = … = рn (например, если бы в задаче 2 стрелял бы один и тот же стрелок, но 3 раза).

Следствие 2. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит хотя бы один раз, равна

Изменим условие задачи 2, взяв вместо трех стрелков одного, но разрешив ему выстрелить 3 раза, причем вероятность попадания этого стрелка возьмем средней по стрелкам из задачи 2. Измениться ли вероятность поражения мишени?

Задача 3. Вероятность попадания стрелка в мишень в каждом выстреле р = 0,8. Какова вероятность поражения мишени при трех выстрелах?

Событие А – попадание в мишень после выстрела. Проводится 3 независимых испытания (производится 3 выстрела), в каждом из которых событие А (т. е. попадание в мишень) может произойти с одной и той же вероятностью р = 0,8. Нас интересует вероятность события В – событие А произошло хотя бы один раз (т. е. мишень поражена). Как мы видим, ситуация полностью совпадает с той, которая описана в следствии 2 при р = 0,8, q = 1 – 0,8 = 0,2. Поэтому по формуле (16.3) получаем Р(В) = 1 – 0,2 3 = 0,992. Быть может кто-то ждал того же результата, что в задаче 2? Уже теперь (после полученного результата) можно задуматься и понять, что этот результат логичен (попробуйте!). А вот вполне практическая “военная” задача.

Задача 4. Один самолет после бомбометания поражает некую цель с вероятностью р = 0,6. Сколько самолетов необходимо послать на задание, чтобы цель была уничтожена с вероятностью большей, чем 0,9?

Пусть на задание послано n самолетов (это число n нам и надо найти). Событие А – попадание в цель самолетом после бомбометания. Имеется n независимых испытаний (т. к. бомбометания производят n самолетов). По следствию 2 (при р = 0,6, а потому q = 0,4) вероятность поражения цели после всех бомбометаний равна 1 – 0,4 n . По условию задачи нужно найти такое n, чтобы выполнялось неравенство 1 – 0,4 n > 0,9, т. е. 0,4 n ln 0,1 / ln 0,4). Аналогичная схема может работать и для вполне мирных практических задач, таких, как, например, следующая.

Задача 5. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1 (т. е. выигрывает в среднем 1 билет из 10). Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью большей, чем 0,95 (т. е. почти наверняка)?

Пусть куплено n билетов (необходимое число n нам и предстоит определить). Проведем n “опытов” – проверим каждый билет по таблице выигрышей. В каждом из них интересующее нас событие (А – билет выиграл) может произойти с одной и той же вероятностью р = 0,1. Тогда по формуле (16.2) вероятность того, что это событие произойдет хотя бы раз (т. е. выиграет хотя бы один билет) равна 1 – 0,9 n . Число n должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство 1 – 0,9 n > 0,95, т. е. 0,9 n ln 0,05 / ln 0,9 = 28,43 …, т. е. (учитывая, что число n может быть только целым) начиная с n = 29. Остается сравнить стоимость выигрыша со стоимостью такого количества билетов.

Следующая задача уходит глубоко в историю.

Задача 6 (задача Шевалье Де Мере). В средние века одним из основных развлечений феодалов были азартные игры (кстати, появление теории вероятности во многом обязано именно им). Некий француз Шевалье Де Мере не только был азартным игроком, но имел свойство замечать некоторые закономерности в играх, но не всегда мог их объяснить. По счастью одним из его хороших знакомых был знаменитый ученый Блез Паскаль (1623 – 1662, один из основателей теории вероятности), к которому Шевалье приходил за разъяснениями. Вот один из подобных эпизодов. Шевалье предлагал сопернику такую игру. Он (Шевалье) бросает пару кубиков 24 раза и выигрывает в случае, если хотя бы раз выпадает пара (6, 6). Противник бросает 4 раза один кубик (или, что то же самое, четыре кубика один раз) и выигрывает, если хотя бы раз выпало 6 очков. При этом Шевалье был уверен, что у него шансов на выигрыш при таких условиях больше, чем у соперника. Но почему-то Шевалье чаще проигрывал, чем выигрывал. Объяснить это он попросил Паскаля. Давайте вслед за Паскалем проанализируем эту ситуацию.

Посчитаем вероятности выигрыша Шевалье и его соперника и сравним их. Для Шевалье. Обозначим события: А – при бросании пары кубиков выпало две шестерки, В – при 24 подбрасываний пары кубиков событие А появилось хотя бы один раз (т. е. Шевалье выиграл). Посчитаем вероятность события А. В § 2 мы определили пространство элементарных исходов при однократном бросании пары кубиков = 11 , 12 , … , 16 , 21 , 22 , … , 26 , … ,61 , 62 , … ,66 >, состоящее из 36 исходов, причем для события А благоприятен лишь один из них А = 66, поэтому Р(А) = 1/36. Понятно, что 24 бросания пары кубиков это 24 независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р = 1/36. Поэтому вероятность того, что оно появиться хотя бы один раз (т. е. вероятность события В) можно посчитать по формуле (16.2) при р = =1/36 (а потому q = 35/36): Р(В) = 1 – (35/36) 24 ≈ 0,4914. Посчитаем вероятность выигрыша противника Шевалье. Обозначим события: А – при бросании одного кубика выпала шестерка, В – при 4 бросаниях кубика событие А появилось хотя бы один раз (т. е. соперник выиграл). Для читателя уже должно быть очевидно, что Р(А) = 1/6, а вероятность того, что это событие в 4 испытаниях появится хотя бы один раз Р(В) = 1 – (5/6) 4 ≈ 0,5177. Теперь становится ясно, почему Шевалье выигрывал реже, чем его соперники.

Ссылка на основную публикацию
Хорошие характеристики для ноутбука
На сегодняшний день портативной электроникой никого не удивишь - персональным носимым компьютером имеют право именоваться не только планшеты, плееры и...
Фото для срисовки легкие но красивые карандашом
Хотите научиться рисовать, но не знаете с чего начать? Подборка самых простых и легких картинок для срисовки помогут создать красивый...
Фото для школьной беседы
Если обычный диалог подразумевает участие только двух пользователей, то в беседу можно позвать нескольких друзей. Эта функция удобна, если нужно...
Хорошие щетки стеклоочистителя отзывы
Проверяем щетки стеклоочистителей. На испытаниях — 8 брендов. Сегодня можно определить к себе на службу дворника любой националь… простите, конструкции:...
Adblock detector