Является ли прямоугольник трапецией

Является ли прямоугольник трапецией

Что такое прямоугольная трапеция и какими свойствами она обладает?

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Рисунок прямоугольной трапеции

ABCD- прямоугольная трапеция,

AD ∥ BC — основания трапеции,

AB и CD — ее боковые стороны,

Свойства прямоугольной трапеции:

1) Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.

AB — высота трапеции ABCD.

2) У прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой.

∠A и ∠B — прямые, ∠D — острый, ∠C — тупой.

3) Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

ABCD — прямоугольник (так как у него все углы — прямые). Следовательно, AF=BC, CF=AB.

FCD — прямоугольный треугольник. FD=AD-AF,

отсюда FD=AD-BC. Если AD=a, BC=b, CF=AB=h, то

4) Квадрат меньшей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и меньшего основания.

Треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора,

5) Квадрат большей диагонали прямоугольной трапеции равен сумме квадратов ее высоты и большего основания.

Треугольник ABD — прямоугольный.

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны [1] . Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Содержание

Варианты определения [ править | править код ]

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны [2] [3] . Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения [ править | править код ]

Элементы трапеции [ править | править код ]

  • Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеций [ править | править код ]

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
  • Общие свойства [ править | править код ]

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2 x y x + y <displaystyle <frac <2xy>>>среднему гармоническому длин оснований трапеции.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
  • Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  • Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
  • Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
  • Если отношение оснований равно K <displaystyle K>, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно K 2 <displaystyle K^<2>>.
  • Высота трапеции определяется формулой:
Читайте также:  Как создать стиль в ворде 2007

h = c 2 − 1 4 ( c 2 − d 2 b − a + b − a ) 2 <displaystyle h=<sqrt <2>-<frac <1><4>>left(<frac <2>-d^<2>>>+b-a
ight)^<2>>>>где b <displaystyle b>— большее основание, a <displaystyle a>— меньшее основание, c <displaystyle c>и d <displaystyle d>— боковые стороны.

  • Диагонали трапеции d 1 <displaystyle d_<1>>и d 2 <displaystyle d_<2>>связаны со сторонами соотношением:

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2 <displaystyle d_<1>^<2>+d_<2>^<2>=2ab+c^<2>+d^<2>>Их можно выразить в явном виде: d 1 = A C = a b + d 2 + b ( c 2 − d 2 ) b − a <displaystyle d_<1>=AC=<sqrt <2>+<frac <2>-d^<2>)>>>>>d 2 = B D = a b + c 2 − b ( c 2 − d 2 ) b − a <displaystyle d_<2>=BD=<sqrt <2>-<frac <2>-d^<2>)>>>>>Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами: a = ( c 2 − d 1 2 ) 2 − ( d 2 − d 2 2 ) 2 2 ( c 2 − d 2 + d 1 2 − d 2 2 ) <displaystyle a=<sqrt <frac <(c^<2>-d_<1>^<2>)^<2>-(d^<2>-d_<2>^<2>)^<2>><2(c^<2>-d^<2>+d_<1>^<2>-d_<2>^<2>)>>>>b = ( c 2 − d 2 2 ) 2 − ( d 2 − d 1 2 ) 2 2 ( c 2 − d 2 − d 1 2 + d 2 2 ) <displaystyle b=<sqrt <frac <(c^<2>-d_<2>^<2>)^<2>-(d^<2>-d_<1>^<2>)^<2>><2(c^<2>-d^<2>-d_<1>^<2>+d_<2>^<2>)>>>>а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие: c = a ( d 2 2 − b 2 ) + b ( d 1 2 − a 2 ) a + b <displaystyle c=<sqrt <frac <2>^<2>-b^<2>)+b(d_<1>^<2>-a^<2>)>>>>d = a ( d 1 2 − b 2 ) + b ( d 2 2 − a 2 ) a + b <displaystyle d=<sqrt <frac <1>^<2>-b^<2>)+b(d_<2>^<2>-a^<2>)>>>>Если же известна высота h <displaystyle h>, то d 1 = b 2 + d 2 − 2 b d 2 − h 2 = h 2 + ( b − d 2 − h 2 ) 2 <displaystyle d_<1>=<sqrt <2>+d^<2>-2b<sqrt <2>-h^<2>>>>>=<sqrt <2>+left(b-<sqrt <2>-h^<2>>>
ight)^<2>>>>d 2 = b 2 + c 2 − 2 b c 2 − h 2 = h 2 + ( b − c 2 − h 2 ) 2 <displaystyle d_<2>=<sqrt <2>+c^<2>-2b<sqrt <2>-h^<2>>>>>=<sqrt <2>+left(b-<sqrt <2>-h^<2>>>
ight)^<2>>>>

Свойства и признаки равнобедренной трапеции [ править | править код ]

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

  • прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
  • высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
  • углы при любом основании равны;
  • сумма противоположных углов равна 180°;
  • длины диагоналей равны;
  • вокруг этой трапеции можно описать окружность;
  • вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
  • если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность [ править | править код ]

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписатьокружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
  • В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
  • Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
  • Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции: [источник не указан 1719 дней]
Читайте также:  Как подключить роутер баштел

R = b c d 1 4 p ( p − b ) ( p − c ) ( p − d 1 ) = a b + c 2 4 − ( b − a c ) 2 <displaystyle R=<frac <1>><4<sqrt <1>)>>>>=<sqrt <frac <2>><4-left(<frac >
ight)^<2>>>>>где p = 1 2 ( b + c + d 1 ) , c <displaystyle p=<frac <1><2>>(b+c+d_<1>),,,c>— боковая сторона, b <displaystyle b>— бо́льшее основание, a <displaystyle a>— меньшее основание, d 1 = d 2 <displaystyle d_<1>=d_<2>>— диагонали равнобедренной трапеции.

  • Если a + b = 2 c <displaystyle a+b=2c>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

r = h 2 = a b 2 <displaystyle r=<frac <2>>=<frac <sqrt ><2>>>

  • Если в трапецию вписанаокружность с радиусом r <displaystyle r>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — v <displaystyle v>и w <displaystyle w>— то r = v w <displaystyle r=<sqrt >>.

Площадь [ править | править код ]

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

m = ( a + b ) 2 <displaystyle m=<frac <(a+b)><2>>>

  • Формула, где a b <displaystyle a — основания, c <displaystyle c>и d <displaystyle d>— боковые стороны трапеции:

S = a + b 4 ( b − a ) ( a + c + d − b ) ( a + d − b − c ) ( a + c − b − d ) ( b + c + d − a ) . <displaystyle S=<frac <4(b-a)>><sqrt <(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)>>.>или S = a + b 2 c 2 − 1 4 ( c 2 − d 2 b − a + b − a ) 2 <displaystyle S=<frac <2>><sqrt

<2>-<frac <1><4>>left(<frac <2>-d^<2>>>+b-a
ight)^<2>>>>

  • Средняя линия m <displaystyle m>разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [7]

S 1 S 2 = 3 a + b a + 3 b <displaystyle <frac <1>><2>>>=<frac <3a+b>>>

  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r <displaystyle r>, и углом при основании α <displaystyle alpha >:

S = 4 r 2 sin ⁡ α <displaystyle S=<frac <4r^<2>><sin <alpha >>>>

  • Площадь равнобедренной трапеции:

S = ( b − c cos ⁡ γ ) c sin ⁡ γ = ( a + c cos ⁡ γ ) c sin ⁡ γ <displaystyle S=(b-ccos <gamma >)csin <gamma >=(a+ccos <gamma >)csin <gamma >>где c <displaystyle c>— боковая сторона, b <displaystyle b>— бо́льшее основание, a <displaystyle a>— меньшее основание, γ <displaystyle gamma >— угол между бо́льшим основанием и боковой стороной [8] .

  • Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
Читайте также:  Почему не работает ютуб на телевизоре самсунг

S = a + b 2 c 2 − 1 4 ( b − a ) 2 <displaystyle S=<frac <2>><sqrt <2>-<frac <1><4>>(b-a)^<2>>>>

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник — это параллелограмм.

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть angle A = angle C , angle B = angle D )

2. Противоположные стороны равны.

AB = CD,enspace BC = AD

3. Противоположные стороны параллельны.

AB parallel CD,enspace BC parallel AD

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

AB perp BC,enspace BC perp CD,enspace CD perp AD,enspace AD perp AB

5. Диагонали прямоугольника равны.

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .

Следовательно, riangle ABD = riangle DCA по двум катетам ( AB = CD и AD — совместный).

Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

ABCD — параллелограмм Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. Rightarrow riangle ABD = riangle DCA уже по трем сторонам.

Получается, что angle A = angle D (как углы параллелограмма). И angle A = angle C , angle B = angle D .

Выводим, что angle A = angle B = angle C = angle D . Все они по 90^ <circ>. В сумме — 360^ <circ>.

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

riangle ABC = riangle ACD, enspace riangle ABD = riangle BCD

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности.

10. Сумма всех углов равна 360 градусов.

angle ABC + angle BCD + angle CDA + angle DAB = 360^

11. Все углы прямоугольника прямые.

angle ABC = angle BCD = angle CDA = angle DAB = 90^

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^

angle ABC = angle CDA = 180^<circ>,enspace angle BCD = angle DAB = 180^

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).

Ссылка на основную публикацию
Шантаж фотографиями в контакте что делать
Социальные сети привлекли к себе внимание большого количества людей. Это не могло не стать очередной лазейкой для желающих получить выгоду....
Что такое shell core
Офис built-to-suit Shell & core – состояние офисного помещения «под отделку», в данном помещении присутствуют только бетонная стяжка, стеклопакеты, подведенные...
Что такое sptd в daemon tools
Подлинный файл является одним из компонентов программного обеспечения SPTD Device Driver, разработанного Duplex Secure. Sptd.sys - это драйвер в Windows....
Широта на карте это
Это приложение предназначено для определения по картам географических координат местности на Земле. Программа определяет долготу и широту в выбранной точке...
Adblock detector