Энергия связи электрона в атоме водорода

Энергия связи электрона в атоме водорода

Теория Бора водородоподобных атомов.

Нильс Бор создал теорию строения атома, способную объяснить опыты Резерфорда и спектр излучения паров водорода.

Спектр характеризует распределение интенсивности излучения по шкале частот (или по шкале длин волн).

электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Момент импульса электрона на этих орбитах кратен постоянной Планка:

, (1)

me – масса электрона, — скорость электрона на орбите с номером n, rn – радиус орбиты с номером n, n =1,2,3,….

Дж·с – постоянная Планка.

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон, энергия которого

. (2)

E n1 и E n2 — энергия электрона в состоянии 1 и 2 (т.е. на орбитах 1 и 2), — частота электромагнитных волн, — постоянная Планка.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода.

1-й постулат Бора, .

Выразим скорость электрона:

. (3)

Рассмотрим круговые электронные орбиты. На электрон с зарядом e со стороны ядра с зарядом +e действует сила Кулона F, сообщая электрону нормальное ускорение,

.

По 2-му закону Ньютона,

. (4)

Сократим и подставим скорость из (3):

.

.

Радиус первой орбиты электрона (n = 1), называется радиусом Бора ,

= 0.53·10 -10 м.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода

, n =1,2,3,…. – номер орбиты.

Энергия электрона в атоме водорода.

Энергия электрона представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной .

и .

Потенциальная энергия – это энергия электрона с зарядом в электрическом поле ядра. Из уравнения (4) видно, что

.

Тогда на n –ой орбите энергия электрона равна

= =.

Т.е. кинетическая энергия электрона равна полной энергии, взятой со знаком «-».

Также полную энергию можно записать через потенциальную:

= , или

.

Подставим . Тогда

= .

Энергия на первой орбите (на первом энергетическом уровне) равна

= = -13,6 эВ.

Величину = 13,6 эВ = 2,18∙10 -18 Дж называют энергией ионизации (эта энергия необходима, чтобы перевести электрон, находящийся на первом уровне, в свободное состояние, т.е. чтобы ионизовать атом). Окончательно, энергия электрона на n –ом энергетическом уровне (на n –ой орбите) записывается как

= .

Спектр излучения водорода.

Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:

.

Частота , длина волны, — скорость света в вакууме.

= + = ,

= .

= — формула Бальмера,

определяет длины волн в спектре атома водорода.

= 1,1∙10 7 м -1 — постоянная Ридберга.

и — номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.

Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением в УФ области спектра (серия линий Лаймана),

переходы на уровень с = 2 приводят к линиям в видимой области (серия Бальмера),

переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению в ИК области.

Теория Бора не смогла объяснить строение сложных атомов. Для объяснения поведения микрочастиц была развита квантовая механика.

Она основана на том, что любая микрочастица, наряду с корпускулярными, обладает также волновыми свойствами (гипотеза де Бройля).

Для фотона, импульс

.

По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны

,

— длина волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.

В этом разделе мы рассмотрим электронное строение атома водорода, волновые функции основного и возбужденных состояний [1].

Читайте также:  Как подключиться к интернету через планшет

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМА ВОДОРОДА

Состояние электрона в атоме водорода будут описывать три квантовых числа, так как в атоме водорода движение электрона ограничено в пространстве сферически-симметричной кулоновской ямой по всем трем осям пространственных координат. Тем не менее в силу сферической симметрии энергия электрона зависит только от одного квантового числа. Так как потенциальная яма для электрона с ростом энергии быстро расширяется (см. рис. 2.5), то следует ожидать сгущения уровней энергии к нулевому значению. Если энергия электрона будет положительна, то энергия может принимать любые значения и квантование будет отсутствовать.

Используя выражение для уровней энергии в бесконечно глубокой яме, можно получить приближенное выражение для уровней энергии и в атоме водорода. Так как энергия взаимодействия определяется выражением (2.16)

то для ширины ямы на я-м энергетическом уровне можно записать

Подставляя это выражение в формулу для уровней энергии в бесконечно глубокой яме, находим:

Отсюда, учитывая отрицательность значений энергии, получаем качественное выражение для уровней энергии в атоме водорода:

Точная формула для квантованных уровней в водородоподобных атомах имеет вид

где Z — электрический заряд ядра. Квантовое число п принимает значения 1, 2, 3.

В этом выражении для нас главным является следующее:

  • 1) положение уровней энергии с ростом заряда ядра изменяется пропорционально Z 2 ;
  • 2) положение уровней энергии зависит от п пропорционально 1 /п 2 .

Следовательно, по мере роста квантового числа п уровни энергии сгущаются (рис. 3.1).

Положение уровней энергии в атоме водорода отсчитывают от состояния, в котором электрон и протон разведены на бесконечно большое расстояние и не имеют кинетической энергии. Это означает, что для удаления электрона на бесконечность от протона с уровня с энергией Еп необходимо совершить работу, равную -Е .

Величину минимальной работы, которую необходимо затратить

для удаления электрона из наинизшего, основного состояния

атома, называют потенциалом ионизации атома.

Это определение применимо не только к атому водорода, но и к атомам всех остальных типов. Потенциал ионизации обозначают

0. Для атома водорода потенциал ионизации равен 13,6 эВ. Энергия уровня основного состояния с п= 1 и Z= 1 равна"/>

Рис. 3.1. Уровни энергии в атоме водорода через /, причем всегда I > 0. Для атома водорода потенциал ионизации равен 13,6 эВ. Энергия уровня основного состояния с п= 1 и Z= 1 равна

Энергии возбужденных состояний в атоме водорода легко рассчитать по формуле

полагая п > 2. Энергия первого возбужденного состояния с п = 2 равна -3,4 эВ.

Разность между отдельными уровнями энергии называют энергией возбуждения или энергией перехода из одного состояния в другое.

Для переходов между уровнями энергии в атоме водорода можно записать такое выражение:

Разность энергий между первым возбужденным состоянием и основным составляет 10,2 эВ.

Общее правило для вычисления изменения значений различных функций ДФ: из величины, относящейся к конечному состоянию (Фкон), вычитают величину, характеризующую начальное состояние (Ф ):

Выражение (3.3) будет использовано в самых различных разделах нашего курса.

Читайте также:  Распознать картину по фото

Атом водорода
Hydrogen Atom

Атом водорода – связанная система, состоящая из положительно заряженного ядра – протона и отрицательного заряженного электрона.
Размеры атома определяются размерами его электронной оболочки ≈ 10 -8 см.
Энергии связанных состояний электрона получаются при решении уравнения Шредингера с потенциалом и определяются соотношением

где n – главное квантовое число, определяющее энергии различных состояний электрона в атоме водорода (n = 1, 2, 3…), R — постоянная Ридберга
(R = 1.0974·10 5 см -1 ).

Каждому уровню с главным квантовым числом n соответствует n состояний, различающихся квантовыми числами l = 0, 1, 2, …, (n-1). Такое вырождение уровней по энергии характерно только для кулоновского поля. Кроме того, каждое из этих вырожденных по l состояний (2l+1)-кратно вырождено по магнитному числу
m = ±l, ±(l-1). ±1, 0. Таким образом, полная кратность вырождения стационарного квантового состояния с главным квантовым числом n дается соотношением .
Такое рассмотрение справедливо при условии, что спин электрона равен нулю. Так как электрон имеет спин s = 1/2, полный момент количества движения электрона будет определяться векторной суммой его орбитального и спинового моментов
= + .
Так как спин электрона s = 1/2, его полный момент количества движения J может быть только полуцелым.
При заданном значении орбитального момента l в атоме водорода возможно два состояния, различающихся значениями полного момента = + = l + 1/2 и
j = l — s = l — 1/2. Эти два значения различаются взаимными ориентациями орбитального и спинового векторов. Энергии электрона в состояниях l + 1/2 и l — 1/2 в кулоновском поле протона несколько отличаются, и вырождение по энергии состояний снимается. Это дополнительное взаимодействие носит название спин-орбитального. С учетом снятия вырождения спектр низколежащих состояний атома водорода обогащается, происходит тонкое расщепление уровней энергий. Вместо двух низших уровней водорода без учета спин-орбитального расщепления (основного 1s и первого возбужденного 2s2p (рис. 1, а)) с учетом спин-орбитального расщепления их становится четыре (рис. 1, б). Квантовые характеристики этих уровней даны в таблице. Уровень с большим значением j = l + 1/2 расположен выше по энергии, чем уровень с j = l — 1/2. Состояния с различными значениями l, но одним и тем же значением nj оказываются по-прежнему вырожденными. Например, 2s1/2 и 2p1/2.


Рис. 1. Схема уровней атома водорода: а – без учёта спина электрона и спина ядра, б – тонкое расщепление уровней, учитывающее спин электрона, в — сверхтонкое расщепление уровней, учитывающее взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Лэмбовский сдвиг уровней 2s1/2 и 2р1/2

4·10 -6 эВ. Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе

Квантовые характеристики электрона в самых нижних
состояниях атома водорода

n l s j = l ± s обозначение уровней
1 1/2 1/2 1s1/2
2 0
1
1/2
1/2
1/2
1/2, 3/2
2s1/2
2p1/2, 2p3/2
3 0
1
2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2, 3/2
3/2, 5/2
3s1/2
3p1/2, 3p3/2
3d1/2, 3d3/2

Из точного решения релятивистского уравнения Дирака для электрона со спином s = 1/2 следует зависимость энергии уровней атома водорода от квантовых чисел n и j

,

где α = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Поправка в Enj не зависит от квантового числа l. Поэтому энергии состояний с одинаковыми j и разными l должны быть равны. Величина тонкого расщепления уровней δEj+1,j при данном n определяется соотношением

Читайте также:  Прошивка для xerox 3119

Величина расщепления уровня с n = 2 составляет ≈ 4.5·10 -5 эВ.
Ядро атома водорода – протон — также имеет собственный момент – спин s = 1/2. Это тоже слегка изменяет взаимодействие электрона с протоном, так как возникает дополнительное взаимодействие магнитного момента протона, вызванного наличием у него спина, с магнитным полем электрона. Величина этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинового момента протона и полного момента электрона. Таким образом, возникает еще один тип расщепления уровней атома, называемого сверхтонким, так как его величина существенно меньше тонкого расщепления. Сверхтонкое расщепление будет наблюдаться уже для основного состояния
(n = 1, l = 0). Переход между двумя подуровнями сверхтонкого расщепления основного состояния водорода приводит к излучению с длиной волны λ = 21 см (частота излучения 1420 МГц). С помощью этого излучения обычно регистрируется межзвездный водород во Вселенной.
Состояния от n = 2 до n = ∞ называются возбужденными состояниями. Энергия возбуждения Eвозб (энергия, которую необходимо сообщить системе, чтобы она перешла из начального состояния ni в конечное состояние nf) определяется из соотношения

Все состояния от n = 1 до n = ∞ являются связанными состояниями, так как имеют отрицательные энергии. При приближении n к бесконечности энергии состояний сближаются, и разница в энергиях соседних состояний становится настолько мала, что расщепленные уровни сливаются, и дискретный спектр уровней трансформируется в непрерывный (сплошной). Когда энергия электрона становится положительной (E > 0), система превращается в несвязанную и электрон становится свободным. Спектр энергий свободного электрона непрерывный.
Переходы из состояний n = 2, 3, … ∞ в состояние n = 1 образуют серию Лаймана. Переходы из состояния n = 3, 4, … ∞ в состояние n = 2 – серию Бальмера. Переходы между состояниями с отрицательной энергией (E 0 и состояниями с E 2 r 2 dr нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода) в s, p и d состояниях. Расстояния даны в боровских радиусах r1 = ћ 2 /mee 2 ≈ 0.529·10 — 8 cм.

Согласно точному решению уравнения Дирака, уровни энергии с одинаковым значением квантового числа n = 1, 2, 3. и одинаковым значением полного момента
j = 1/2, 3/2. должны совпадать по энергии независимо от значения квантового числа l. В 1947 г. У. Лэмб и Р. Ризерфорд обнаружили сдвиг уровней 2s1/2 и 2p1/2 в атоме водорода. Этот сдвиг уровней называется лэмбовским сдвигом . Основная причина лэмбовского сдвига обусловлена радиационными поправками:

  1. Испусканием связанным электроном виртуальных фотонов.
  2. Поляризацией вакуума — рождением в вакууме электрон-позитронных пар.

Эти две поправки полностью объясняют наблюдаемую величину лэмбовского сдвига уровней 2s1/2 и 2p1/2 (ΔE = 4.5·10 -6 эВ).
Вероятность dw нахождения электрона в объеме dV в определенном месте пространства определяется выражением

dw = |ψ(x, y, z)|2 dV = |Rnl(r)Ylm(θ,φ)| 2 r 2 sinθdθdφdr =
= |Rnl(r)| 2 r 2 |Ylm(θ,φ)| 2 sinθdθdφdr,

распадается на радиальную вероятность ||Rnl(r)| 2 r 2 | 2 r 2 dr и угловую — |Ylm(θ,φ)| 2 dΩ. Распределения этих вероятностей даны на рис. 3–5.

Ссылка на основную публикацию
Шантаж фотографиями в контакте что делать
Социальные сети привлекли к себе внимание большого количества людей. Это не могло не стать очередной лазейкой для желающих получить выгоду....
Что такое shell core
Офис built-to-suit Shell & core – состояние офисного помещения «под отделку», в данном помещении присутствуют только бетонная стяжка, стеклопакеты, подведенные...
Что такое sptd в daemon tools
Подлинный файл является одним из компонентов программного обеспечения SPTD Device Driver, разработанного Duplex Secure. Sptd.sys - это драйвер в Windows....
Широта на карте это
Это приложение предназначено для определения по картам географических координат местности на Земле. Программа определяет долготу и широту в выбранной точке...
Adblock detector