Неравенство треугольника с модулями

Неравенство треугольника с модулями

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b .

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b . Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b| .

Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a| . Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b , что больше, чем b – a . Поэтому |a + b| .

Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b| , что также меньше суммы модулей |a| + |b| .

Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b| . Результат этого выражения равен |a + b| (т. к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| ). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b| , следовательно и |–a – b| = |a| + |b| .

Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.

Доказательство 3) , a ≠ 0:

Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/ a .

Доказательство 4) |a – b| ≥ |a| – |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a – b| = |a| – |b| , потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a – b .

Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a – b| примет вид |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .

Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .

Читайте также:  Фамилии для офников в вк

Аксиоматика евклидова пространства.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y из сопоставлено вещественное число (обозначаемое ( x , y ) ), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, каковы бы ни были векторы x , y и z и число :

1)

2)

3)

4) для всех .

Будем рассматривать n мерное евклидово пространство . Любое подпространство в — также евклидово пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение.

Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как , имеем

Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма.

Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это – функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейна. Аксиома 1) означает, что билинейная функция симметрична, а аксиома 4) – что соответствующая квадратичная форма положительно определена. Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно.

Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм. Во втором определении слово «задана» означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ее основной квадратичной формой.

Доказывается как следствие из следующей теоремы:

Теорема. Пусть – произвольная, не обязательно линейно зависимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,

положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Первое утверждение следует из предложения 2 (Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен), так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство , в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов. Мы придем к системе линейных уравнений

Которой удовлетворяют коэффициенты . Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант её матрицы равен нулю.

Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского

причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Читайте также:  Вставка дренажная для холодильника для чего

Из неравенства Коши-Буняковского следует еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника,

Знак равенства имеет место, если , т.е. если угол между x и y равен нулю, и только в этом случае. Неравенство треугольника для векторов – направленных отрезков – означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон.

Если в евклидовом пространстве выбран базис е, то скалярное произведение векторов x и y , как и значение любой билинейной функции выражается через координатные столбцы и этих векторов:

Согласно определению матрицы билинейной функции элементы матрицы Г равны скалярным произведениям , т.е.

Эта матрица называется матрицей Грама базиса e .

Матрица Грама симметрична и невырождена.

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Читайте также:  Зачеркнутый текст в ворде горячие клавиши

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Ссылка на основную публикацию
Не работает инструмент перемещение в фотошопе
В процессе работы в программе фотошоп постоянно требуется перемещать объекты по рабочему пространству. Для этих целей используется инструмент Перемещение. В...
На какой диск записывают рентген
Архивирование снимков на CD или DVD (веб-PACS) в программе для цифровой рентгенографии Image Suite версии 4.0 Для архивирования снимков из...
Не идет зарядка на телефоне самсунг
Владельцы мобильных телефонов часто сталкиваются с проблемой, когда не заряжается телефон Samsung. Если вы тоже столкнулись с подобной ситуацией и...
Не удалось открыть общий доступ geforce experience
При запуске пишет: не удалось открыть "общий доступ"При нажатии на переключатель общий доступ пишет: Что-то пошло не так. Попробуйте перезагрузить...
Adblock detector