Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:
Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b .
Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:
Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b . Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b| .
Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a| . Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b , что больше, чем b – a . Поэтому |a + b| .
Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b| , что также меньше суммы модулей |a| + |b| .
Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b| . Результат этого выражения равен |a + b| (т. к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| ). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b| , следовательно и |–a – b| = |a| + |b| .
Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.
Доказательство 3) , a ≠ 0:
Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/ a .
Доказательство 4) |a – b| ≥ |a| – |b|:
Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a – b| = |a| – |b| , потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a – b .
Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a – b| примет вид |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .
Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .
Аксиоматика евклидова пространства.
Определение. Вещественное линейное пространство 
называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y из сопоставлено вещественное число (обозначаемое ( x , y ) ), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, каковы бы ни были векторы x , y и z и число 
:
1) 
2) 
3) 
4) 
для всех 
.
Будем рассматривать n — мерное евклидово пространство . Любое подпространство 
в — также евклидово пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение.
Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как 
, имеем
Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому.
Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма.
Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это – функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейна. Аксиома 1) означает, что билинейная функция симметрична, а аксиома 4) – что соответствующая квадратичная форма положительно определена. Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно.
Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм. Во втором определении слово «задана» означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ее основной квадратичной формой.
Доказывается как следствие из следующей теоремы:
Теорема. Пусть 
– произвольная, не обязательно линейно зависимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,
положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.
Первое утверждение следует из предложения 2 (Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен), так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.
Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство 
, в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов. Мы придем к системе линейных уравнений
Которой удовлетворяют коэффициенты 
. Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант её матрицы равен нулю.
Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского
причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.
Из неравенства Коши-Буняковского следует еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника,
Знак равенства имеет место, если 
, т.е. если угол между x и y равен нулю, и только в этом случае. Неравенство треугольника для векторов – направленных отрезков – означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон.
Если в евклидовом пространстве выбран базис е, то скалярное произведение векторов x и y , как и значение любой билинейной функции выражается через координатные столбцы 
и 
этих векторов:
Согласно определению матрицы билинейной функции элементы 
матрицы Г равны скалярным произведениям 
, т.е.
Эта матрица называется матрицей Грама базиса e .
Матрица Грама симметрична и невырождена.
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Стало быть, годятся лишь и .
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
