Пример 1. Проверим, лежат ли точки A (1, −1, 1) , B (2, 2, 3) , C (3, 1, 3) и D (0, 0, 1) в одной плоскости.
Решение. Вычисляем смешанное произведение векторов A B = <1, 3, 2>, A C = <2, 2, 2>и A D = < −1, 1, 0>:
| ( A B , A C , A D ) = |
| 1 | 3 | 2 |
| 2 | 2 | 2 |
| −1 | 1 |
Так как смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны и, следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Пример 2. Даны вершины тетраэдра A (2, 3, 1) , B (4, 1, −2) , C (6, 3, 7) и D ( −5, −4, 8) . Найдем длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость основания A B C (рис. 1).
Решение. Из вершины A проводим векторы A B = <2, −2, −3>, A C = <4, 0, 6>и A D = < −7, −7, 7>.
В соответствии с геометрическим смыслом смешанногопроизведения имеем:
| V тетр. = |
| 1 |
| 6 |
· V параллелеп =
| 1 |
| 6 |
| ( A B , A C , A D ) | .
С другой стороны,
| V тетр. = |
| 1 |
| 3 |
S ΔABC · h ,   где   S ΔABC =
| 1 |
| 2 |
| [ A B , A C ] | .
Сравнивая эти равенства, получаем
| h = |
| 3 V тетр |
| S ΔABC |
.
1. Вычисляем смешанное произведение:
| ( A B , A C , A D ) = |
| 2 | −2 | −3 |
| 4 | 6 | |
| −7 | −7 | 7 |
Следовательно, V тетр. = 308/6 .
2. Вычисляем координаты векторного произведения:
УСЛОВИЕ:
Лежат ли точки A(0, 1,-2), B(-2, 4, 1), C(5, 3, 7) и D(4, 0, 3)
в одной плоскости?
РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ
Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B, C
Добавил vk390991176 , просмотры: ☺ 582 ⌚ 2018-11-15 21:00:19. математика 10-11 класс
Решения пользователей
Написать комментарий
Решаем еще одну систему и находим х и у
Складываем:
(x+y)^2=25 ⇒ x+y=5 Или х+у=-5
Вычитаем
(x-y)^2=1 ⇒ x-y=1 или x-y=1
Теперь четыре ответа написать осталось
Существует шесть случаев расположения квадратного трехчлена в зависимости от коэффициента а и дискриминанта D
см. рис.
На каждом рисунке неравенство
ax^2+bx+c >0
имеет решения или не имеет
При a > 0
(см. верхние рисунки) ветви параболы направлены вверх
На первом рисунке неравенство верно при любом х
На втором — верно при всех х, кроме одного значения.
На третьем верно при x_(1) 0 ⇒ a>0
В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали , где A2+B2+C2>0:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)
Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.
Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).
Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [].
Поставленную задачу можно решить другим способом. Пусть М(x, y,z) — текущая точка на плоскости π. Тогда векторы =(x-x1,y-y1,z-z1), =(x2-x1,y2-y1,z2-z1) и =(x3-x1,y3-y1,z3-z1) лежат на плоскости π (компланарны). Условие компланарности этих векторов (равенство нулю их смешанного произведения) задает уравнение искомой плоскости π:
. (21)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).
Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)
.
Разложив определитель по первой строке, получим
Или
– уравнение искомой плоскости с .
Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .
.
Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): , если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.
Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов и :
=(A, B,C).
Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
и
Т. M1 (x1,y1,z1),
Т. M2 (x2,y2,z2) ,
Вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).
Вновь используем уравнение (*).
Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A, B,C) может быть векторное произведение [,].
Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.
Решение задачи рассмотрим на примере.
Пусть и .
1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.
Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде
,
здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, – ее направляющий вектор.
На прямой L1: М1(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).
Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения
,
Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).
Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.
Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).
Вектор нормали =(А, B,C)= []== – 2+16+13.
Уравнение искомой плоскости π:
– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или
2x – 16y – 13z + 31 = 0.
Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:
L:
И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.
Решение: Возможны следующие случаи:
А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);
Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;
В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.
Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.
Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений
. (22)
Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.
Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)
А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:
.
Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:
,
Имеет место случай (б).
Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).
Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).
Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости
Решение. Запишем алгоритм решения задачи.
1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором этой прямой послужит вектор нормали
.
2. Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
3. Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=,y1=,z1=, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0)
(рис. 9):
XQ=2×1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.
Аналогично решается и следующая задача.
Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой
.
1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости (A, B,C) возьмем направляющий вектор =(l, m,n) прямой L.
π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.
2. Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).
3. Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.
